Jean-Pierre Bourguignon et Cédric Villani : "Grothendieck a eu un impact incroyable sur les mathématiques"

Deux invités ce matin dans le grand entretien du 7-9, deux mathématiciens. Le premier fut directeur de l'IHES, l'Institut des Hautes Études Scientifiques. Le second, qui reçut la médaille Fils en 2010, est aujourd'hui député et conseiller de Paris. Vos questions, on va parler de mathématiques, vous l'avez compris. Vos questions, amis auditeurs, au 01 45 24 7000, sur les réseaux sociaux et l'application mobile de France Inter. Jean-Pierre Bourguignon, Cédric Villani, bonjour. Bonjour. Et bienvenue à notre micro, on est ensemble ce matin pour évoquer la figure d'Alexandre Grotendieck, surnommée souvent le Einstein des mathématiques.

Gallimard publie cette semaine Récoltes et Semailles, un texte monstre de 2000 pages, qu'on appellera son autobiographie, faute de termes adéquats, pour décrire cette oeuvre torrentielle. En plus de son apport aux mathématiques, la vie de Grotendieck fut elle-même inouïe, des tragédies du XXe siècle au retrait progressif du monde, jusqu'à vivre seul, quasi ermite, en Ariège, où il est décédé en 2014. Pourquoi Jean-Pierre Bourguignon dit-on de Grotendieck qu'il fut le plus grand génie des mathématiques au XXe siècle ?

D'abord parce qu'il a eu un impact sur la discipline incroyable. Peut-être qu'il a changé la discipline à laquelle il s'est consacré, qu'on appelle la géométrie algébrique. Et d'une certaine façon, ce qu'il a provoqué comme changement, une analogie qu'on peut donner, c'est qu'il y a la biologie avant l'ADN et il y a la biologie après l'ADN. Ça ne veut pas dire que la biologie d'avant n'a plus de place, mais on la regarde différemment.

Ça veut dire que vous employez l'expression, vous dites que ce sont des changements irréversibles pour les mathématiques.

Exactement, et une des preuves de ça, c'est que les éléments de géométrie algébrique qu'il a produit dans la période où il s'est remis là-dedans, et puis les séminaires de géométrie algébrique continuent, ça c'était dans les années 60, à être lus et produits. Et donc c'est la base de l'éducation géométrie algébrique dans le monde entier.

Vous l'avez connu, croisé, Jean-Pierre Bourguignon ?

Oui, moi je l'ai connu en fait de façon étonnante pour la première fois. C'est que j'allais à l'IHES pour écouter un autre séminaire, celui d'un autre génie des mathématiques, René Thomme. Et donc évidemment, Grotendieck et toutes ses élèves étaient des gens à côté de nous. Après, moi évidemment comme directeur de l'IHES, il était toujours dans mon paysage.

Alors je voudrais, Cédric Villani, rappeler la légende Grotendieck qui démarre, l'anecdote est fameuse. Quand les mathématiciens Laurent Schwartz et Jean Dieudonné lui confient à 21 ans une liste de 14 problèmes mathématiques qu'il considère comme autant de programmes de recherche et de travail pour des années et les années à venir. Il demande à Grotendieck d'en choisir un ou deux. Quand il revient vers eux, il a résolu les 14 problèmes. Est-ce que ce moment fondateur, Cédric Villani, qui lance la carrière mathématique de Grotendieck, vous coupe encore le souffle 75 ans après ?

Bien sûr Nicolas Demorand. Ça fait partie de ces anecdotes qui sont dans la légende, dans la culture, le panthéon commun des mathématiciens. Quand vous lancez dans la carrière en mathématiques, il ne vous faut pas longtemps avant de comprendre que ce personnage, Alexandre Grotendieck, il a un statut quasiment mythique, quasiment comme une idole, avec toutes ses anecdotes et tous ses exploits. Et pour moi, il y a quatre volets dans l'aura qu'exerce Grotendieck encore aujourd'hui.

D'abord, il y a ce volet très impressionnant, cette puissance de réflexion, celle qui lui fait résoudre, alors qu'il était quasiment autodidacte à l'époque où il a rencontré Schwartz, des problèmes qui semblaient extraordinairement difficiles.

Autodidacte, quasiment.

Quasiment autodidacte. Il avait étudié seul, il avait retrouvé une grande partie de l'intégrale de Le Beg. Il s'est d'ailleurs fait assermonner par du donné Schwartz quand il arrive. On dit que ce n'est pas comme ça qu'il faut travailler. On ne travaille pas en mathématiques isolées. Il faut discuter avec les autres, avec sa façon très particulière de penser. Mais en tout cas, je me souviens quand j'étais étudiant, et je me souviens d'un exposé fait par son ancien élève Pierre Deligne, lui-même Médaille-Fils.

Et à un moment, pour nous parler, pour évoquer les pensées de Grotendieck, il nous parle d'un certain concept, une formule, il écrit au tableau, il dit voilà, Grotendieck me parlait de ça. Et c'est Deligne qui disait, j'étais stupéfait de voir que quelqu'un pouvait oser imaginer un objet aussi compliqué. Donc ça, c'est vraiment la figure du génie, celui qui pense différemment des autres, qui voit des problèmes que les autres ne voient pas. Mais ensuite, il y a le Grotendieck fécond, celui qui évoquait Jean-Pierre Bourguignon à quelques instants, avec des travaux qui font date, et au moins quatre Médaille-Fils qui s'inscrivent dans les pattes de ces théories.

De Ligne, Go Bao Chao, Laurent Laforgue, Vladimir Voivodski, donc quelqu'un qui a donné des outils pour toute la communauté.

C'est une pensée extrêmement féconde et qu'il est resté.

Extrêmement féconde et qu'il est resté. Et puis, il y a le Grotendieck radical sur ses principes, celui qui démissionne de l'IHES quand il pense que l'IHES agit de façon non éthique, celui qui se lance dans l'écologie radicale, celui qui agit de façon extrêmement forte selon ses principes, dont la force de caractère reste un exemple. Et il y a le Grotendieck témoin, c'est celui qui nous rassemble aujourd'hui, celui qui raconte sa vie intérieure, extérieure, dans un style unique.

Jean-Pierre Bourguignon, la fin des années 60 semble marquer une première rupture dans la vie de Grotendieck, dont l'origine est peut-être, mais je vous pose la question, à trouver dans la guerre du Vietnam. De quoi prend-il alors conscience ?

Mais disons que la guerre du Vietnam, comme vous le savez, était un peu spéciale, dans la mesure où il y avait une énorme puissance, les Etats-Unis, et une résistance nationale d'un peuple tout entier qui voulait résister, mais pour les Etats-Unis, qui utilisaient une guerre très sophistiquée, très technicisée. Très scientifique ! Et voilà, et donc du coup, pour Grotendieck, visitant le Vietnam dans cette période, il avait le sentiment que la science pouvait être complètement détournée de ses objectifs initiaux, et que du coup, ça pouvait devenir, pour les scientifiques, une problématique dont ils ne pouvaient pas se détacher.

Et c'est une cassure, une première cassure ?

Oui, alors l'autre chose qui était, à cette époque, extrêmement prégnante, aujourd'hui, on l'a un peu oublié, c'était vraiment la menace des armes nucléaires, et la guerre nucléaire. Et donc, les premières prises de parole publiques, qui étaient très souvent pour Grotendieck dans cette période, justement pour dénoncer la course aux armements nucléaires, et après, évidemment, l'écologie radicale.

L'écologie radicale, évidemment. Donc, vous l'avez dit, la lutte contre le nucléaire, l'antimilitarisme, comment se fait ce passage des mathématiques au militantisme ? Il y a une immense tradition de mathématiques qui épouse le militantisme. Il n'est pas le premier, ni le seul depuis.

Il n'est pas le premier, il n'est pas le dernier, et il est naturel, je dirais, qu'on trouve ici et là des mathématiques sur le sujet. D'abord, en mathématiques, on passe son temps à s'interroger sur le sens des choses, le sens du monde, qu'est-ce qui est important, qu'est-ce qu'il n'est pas, et quelles sont les règles. Et ensuite, on sait bien à quel point la compréhension du monde, les sciences naturelles, reposent sur des questions mathématiques, que ce soit pour évaluer des questions d'énergie, que ce soit pour évaluer, compter des espèces ou qui sait quoi. Encore aujourd'hui, quand vous regardez les rapports du GIEC, il y a une bonne dose de mathématiques.

Quand on s'interroge, quand on cherche à mesurer, quantifier les fondements de la biodiversité, il y a une bonne dose de mathématiques et de sciences. Il est naturel que, vu l'importance des sciences et technologies dans l'analyse et l'action sur le monde, on ait eu des scientifiques qui se soient engagés.

L'avis de Grotendik, je voudrais le rappeler, croise les tragédies du XXe siècle. Il est né en 1928 à Berlin, avec la montée du nazisme. Ses parents, qui étaient anarchistes, confient Grotendik à une famille d'accueil pour rejoindre l'Espagne en guerre civile. Son père meurt en déportation à Auschwitz. Grotendik est caché au chambon sur l'Ignon, comme tant d'autres Juifs pendant la Seconde Guerre mondiale. Longtemps, Grotendik fut apatride. Comment comprendre, et là je saute dans le temps, son retrait hors du monde ? Le fait d'aller vivre seul, en ermite, dans l'Ariège, en ayant rompu ses attaches, avec les mathématiciens, avec sa famille. C'est quoi ?

C'est un ermite ou la question de la folie se pose, selon vous, Jean-Pierre Bourguignon ?

Non, je pense qu'il faut faire attention. Évidemment, l'Ariège a été le point ultime. Mais il a eu, avant, des périodes aussi d'isolation, alors qu'il était encore professeur à Montpellier. Et en fait, une des choses très importantes, quelque chose qui a joué un rôle très important chez Grotendik, c'est la lecture des échanges de lettres entre ses parents. Et il a découvert la violence des échanges entre ses parents. Et là, parce qu'il avait une relation très forte avec sa mère, avec laquelle il a vécu, il a très peu connu son père. Et donc, cette plongée dans l'isolation, il en a eu plusieurs moments.

Et en fait, l'écriture de Récolte et Sommage, qui a duré en gros trois ans, était déjà une période où il avait finalement peu de relations, bien que le tapuscri, comme on dit, c'est-à-dire taper à la machine du document, a été fait par une secrétaire de l'Université de Montpellier. lui-même envoyer un brouillon, mais voilà. Donc, si vous voulez, il y a eu des périodes vraiment de... Et quand on dit isolation, c'est aussi isolation vis-à-vis de ses enfants. Y compris même, vers la fin, le refus de recevoir sa fille, qui en a été très mortifié.

Ce retrait hors du monde, Cédric Villani, j'imagine qu'il était connu chez les mathématiciens. Bien connu, faisant partie de la légende. Voilà, ça faisait partie de la légende.

Vous vous demandiez pourquoi ? On se demandait, et puis je connais certains collègues, je pense à notre collègue Laurent Laforgue, qui lui-même a reçu la médaille Fields pour des travaux dans la lignée de Grotendik, allant, comme en pèlerinage, allant chercher à rencontrer Grotendik, sans réussir à lui parler directement, ça faisait partie des sujets. Je me souviens toutes les fois qu'il m'était arrivé de déjeuner à l'Institut des hautes études scientifiques, dont, comme vous le rappelez, Jean-Pierre Bourguignon était le directeur pendant longtemps.

La conversation à table finissait toujours par revenir à un moment autour de Grotendik, pourquoi il était parti, qu'est-ce qu'il fallait en tirer comme conclusion. Attention, Grotendik a plusieurs phases dans sa vie. Il y a le moment où il est en ermite, il y a aussi le moment où c'est un hyper social, qui va partout, qui rencontre tout le monde, qui fait des conférences publiques, qui interroge ses collègues aussi pour leur demander, finalement, pourquoi vous faites des sciences, posez-vous la question, quel est le sens de votre vie.

Il y a le Grotendik qui fonde une revue d'écologie, Vivre et survivre, ou survivre et vivre, je ne sais plus, avec Pierre-Samuel qui plus tard a rejoint les Amis de la Terre, avec un petit groupe de scientifiques très engagés dans l'écologie. Ce n'était pas qu'un ermite, c'est aussi quelqu'un qui, à d'autres moments de sa vie, a été un hyper social.

Géométrie algébrique, théorie des topos, comment décrire au profane que je suis, et au profane que beaucoup sont, la force de cette révolution, Jean-Pierre Bourguignon ? Vous avez quoi ? Une minute trente ? Pour résumer les travaux de plusieurs vies.

Peut-être ce qu'il faut dire, c'est quelle était la méthode pour résoudre des problèmes qu'utilisait Grotendik. Pour beaucoup de mathématiciens, et c'est une expression que les gens utilisent, quand on a résolu un problème, on a l'impression qu'on l'a cassé. Et Grotendik s'insurgeait comme une façon de parler, parce qu'effectivement, sa technique était de dissoudre les difficultés. Alors comment on dissout des difficultés ?

Tout simplement en montant suffisamment dans l'abstraction, pour que quand on regarde les choses à une autre hauteur, des sujets qui apparaissaient comme complètement séparés avec tout un tas de murs, finalement, il n'y a plus de murs, parce que si on regarde de suffisamment où, on se rend compte qu'on peut passer par-dessus les murs. Donc ça a été ça qu'il a fait en permanence.

Oui, donc c'est une altitude aussi.

Voilà, et alors évidemment, pour l'accompagner dans la montée de l'altitude, ce n'est pas forcément facile. Donc pour la géométrie algébrique, c'était la notion de schéma, qui a été absolument décisive dans les progrès qu'il a fait. Et là, il a jeté les bases d'une théorie, donc celle des topos. Ne me demandez surtout pas une définition, parce que là, ce n'est pas une minute trente, mais c'est une année et demie qu'il me faudrait. Et dont finalement, le profit est seulement en train d'être tiré. C'est-à-dire qu'il était un des seuls à entrevoir la puissance, la force.

Et un certain nombre de gens, comme Laurent Laforgue aujourd'hui, considèrent, ou Alain Kohn, une autre médaille fils, considèrent que c'est quelque chose qui doit être pris extrêmement au sérieux, et y compris dans des sujets qui n'ont rien à voir avec la géométrie algébrique.

Racontez-nous l'image de la noix, Cédric Villani.

Exactement, Nicolas Demorand. C'est une variante de cette image que Jean-Pierre Bouguignon vient de donner. Et Grotendik l'utilise dans ses textes pour contraster son style avec celui de Jean-Pierre Serre, notre mathématicien légendaire, travaillant en géométrie algébrique et dans d'autres sujets, à l'interface entre géométrie et arithmétique. Et il nous dit, voilà, vous avez une noix à casser. Première méthode, vous prenez votre marteau et vous cassez la noix. C'est l'attaque directe, c'est le style de serre. Deuxième méthode, vous plongez la noix dans un bain d'acide qui va la dissoudre lentement, lentement.

Quand vous regardez, vous avez l'impression qu'il ne se passe rien, mais au bout d'un certain temps, la noix est dissoute. Et mon style, dit Grotendik, c'est plutôt comme ça. Alors, et c'est vrai, quand vous lisez les démonstrations de Grotendik, vous avez l'impression qu'il ne se passe rien. On applique définition après définition, ligne après ligne, et pourtant, à la fin, le problème est résolu. Je dis ça en regardant le domaine de l'extérieur. Je ne suis pas du tout dans le domaine de Grotendik. Vous savez, mathématiques, on se partage le gâteau de l'infinie variété des sujets mathématiques. Et chacun a ses domaines de spécialité.

Donc, c'est complète, la théorie des topos, mais complètement étrangère. Mais ce genre d'image, ce genre d'analogie est précieux. Quand vous êtes étudiant en mathématiques, vous comprenez bien qu'il n'y a pas que la démonstration brute. Il faut aussi avoir les visions, savoir construire ses idées, comment, comme un architecte, on raccorde tel pan de concept avec tel autre. Quel est le plan d'attaque ?

Et puis, il y a cette phrase étonnante, « La passion d'amour est, elle aussi, pulsion de découverte ». Ces deux pulsions, celles qui animent le mathématicien au travail et celles en l'amante ou en l'amant, sont bien plus proches qu'on est disposé à se l'admettre. Est-ce qu'il y a une érotique des mathématiques, Jean-Pierre Broguignon ?

Disons que dans le cas de Grotendik, comme tout ce qu'il a fait, il l'a fait avec une passion totale et avec une volonté d'essayer de comprendre dans ses processus psychologiques, de comprendre comment ils arrivent, quels sont les ingrédients. Donc pour lui, il y avait un continuum complet entre ces choses et d'une certaine façon, « Récolter Sommail » est un endroit où il a essayé de faire cohabiter, dans un style absolument inimitable, ces deux choses, et en particulier parce que ce livre est une introspection, d'une profondeur fabuleuse, et dans lesquelles, évidemment, le sentiment amoureux ne peut pas être séparé du reste.

Évidemment, on traverse les mathématiques. Cédric Villani, puis on file au standard.

Oui, je ne pouvais m'empêcher de penser à une célèbre phrase du mathématicien André Veil qui comparait le plaisir de la découverte mathématique, de l'illumination, quand vous comprenez comment les éléments s'enchaînent, au plaisir sexuel. Et il ajoutait, mais le plaisir mathématique dure beaucoup plus longtemps.

Olivier est au standard. Bonjour et bienvenue.

Oui, bonjour à vous. Merci de prendre mon appel et de la qualité de vos émissions. Voilà, je suis très heureux d'entendre parler d'Alexandre Rotendik, puisque c'est quelqu'un dont j'ai entendu parler par mon oncle qui était prof de maths tout au long de sa vie. Donc voilà, j'étais assez surpris d'entendre ce sujet ce matin à France Inter. Ma question est la suivante. Je sais donc, j'ai appris qu'Alexandre Rotendik avait laissé des milliers de pages d'écriture de calculs mathématiques. Je voulais savoir si ces calculs avaient été, après sa mort, est-ce que ces pages de calculs avaient été prises en compte et si des découvertes avaient été faites en les exploitant.

Les fameuses et mythiques pages, merci Olivier, il y a les 20 000 de l'université de Montpellier, sauf erreur, et les 50 000 pages qu'il laisse à sa mort. Vous avez pu, Jean-Pierre Bourguignon, cette semaine je crois, voir ces 50 000 pages. C'est quoi exactement ?

D'abord, c'est des caisses dans un sous-sol d'un libraire. C'est une expérience d'émotion incroyable. C'est très difficile de savoir ce qu'il y a dedans, il faut aller regarder. Il y aura sûrement des mathématiques, mais il y a sûrement beaucoup d'autres choses. Une des choses qui m'a beaucoup marqué, c'est un cahier entier où il a repris le recensement de tous les déportés juifs à partir des rafles en France. Pour chacun d'entre eux, il a essayé de retrouver les familles, de retrouver d'où ils venaient, de retrouver d'où ils sont allés. Tout ça de son écriture minutieuse, sur des centaines de pages. Il faut imaginer l'intensité, le volume de travail que représente cette action.

Il faut absolument qu'on arrive à...

Il va falloir une sacrée équipe, non ?

Il faut une équipe, il y en aura national, sur des dizaines d'années. Il n'y a pas d'autre solution. La première chose, c'est déjà de s'assurer que ces documents vont être disponibles. Parce qu'il y a... Ils sont la propriété des enfants, ce qui est complètement normal.

Des enfants, mais il faudrait, dites-vous, que la BNF s'en saisit, c'est ça. Ils trouvent un moyen de les acquérir. Je ne vous le fais pas dire.

Cédric Villani. Oui, on se souvient, ça arrive dans l'histoire des sciences, que beaucoup d'énergie doivent être mise pour comprendre ce qui se cache dans les écrits laissés. On pense par exemple aux décennies qu'il a fallu pour analyser les fameux carnets de formules de Ramanujan. Dans le cas de Grotendik, c'est encore bien plus compliqué par le mélange, effectivement, des écrits scientifiques, des écrits philosophiques, des réflexions intérieures, extérieures.

Alors, on a beaucoup de questions sur le même thème, dans l'application France Inter. Elsa, jeune prof de maths. Là, on change de registre. Je ne comprends pas, dit-elle, le choix de ne plus enseigner les mathématiques dans le tronc commun. Là, on est maintenant au lycée. Notre discipline souffre d'une vision élitiste. Ma fille, en première, nous dit, Laurent, ne fais plus de maths. Elle me demande pourquoi il n'y a pas de maths. C'est une réforme du bac qu'a voulu Jean-Michel Blanquer et qui a vu les heures d'enseignement de mathématiques baisser. Que pouvez-vous répondre à ces auditeurs qui s'en inquiètent et s'en désolent ? Cédric Villani. Sujet hypersensible.

L'enseignement mathématique en France, on le sait, a des traverses de sérieuses turbulences depuis longtemps. Le niveau de nos élèves dans les comparaisons internationales, PISA ou TIMES, a baissé de façon continue depuis 30 ans jusqu'à se retrouver en queue de peloton de l'OCDE.

En ce qui concerne la réforme du baccalauréat et cette fameuse classe de première qui concentre beaucoup de critiques, ce que je peux dire, c'est que ça ne faisait pas partie des recommandations que nous avions faites avec Charles Torossian sur l'évolution du cursus mathématique, mais quand l'idée m'a été présentée, j'avais trouvé que c'est une bonne idée d'avoir un enseignement de sciences intégré en première, dans lequel on parle de mathématiques non pas comme une discipline séparée du reste, mais intégré à la physique, à la chimie, à la biologie, aux sources naturelles, etc. Comme j'ai pu le faire devant des dizaines de milliers d'audiences. Mais vous entendez l'inquiétude aujourd'hui.

Mais ce qu'il faut bien constater, c'est que la mise en place a été ratée, et qu'aujourd'hui ça ne marche pas dans la grande majorité des établissements, parce que les horaires ne sont pas assez étendus, et surtout parce qu'il n'y a pas eu de temps réservé pour les équipes pédagogiques de faire ce travail de préparation interdisciplinaire des cours, sans lequel l'enseignement scientifique n'a pas de sens.

Vous êtes inquiet ?

Je suis très inquiet par un effet secondaire, évidemment absolument pas voulu, mais on était arrivés, après des efforts continus, à ce que le pourcentage de jeunes filles dans les classes de Terminal S soit pratiquement égal à celui des garçons. On était à 48%, et là il semble qu'avec la réforme, le pourcentage de jeunes filles qui ont choisi de faire des mathématiques plus intensives était gringolé à 10%. Donc en deux années, on a perdu 20 ans d'effort. Évidemment, ce n'était pas du tout l'intention.

Mais on sait bien que les jeunes filles sont beaucoup plus exigeantes sur elles-mêmes, et même si elles font des mathématiques avec plaisir, même si elles ont des bons résultats, elles se disent « oui, mais c'est trop dur pour moi ». Et ça, c'est dramatique. Et ça, je pense que... Pour l'avenir de la discipline, hein ? Pour l'avenir même de la France, je veux dire. On a besoin des femmes.

Parce que la France est un grand pays de mathématiques. Cédric Vidani, un mot ? Deux remarques extrêmement rapides.

D'abord, on a parlé de beaucoup de mathématiciens géniaux. Il y a bien sûr aussi les mathématiciennes géniales, tout aussi géniales que leurs homologues masculins. On évoque en particulier la grande figure de Mariam Mirzarani, la première femme médaillée Fields. C'était en 2014. Et ensuite, oui, il y a la question de la première qui donne beaucoup d'inquiétude. Mais l'essentiel pour l'avenir des mathématiques et de la France, c'est l'école primaire. C'est là que se joue l'essentiel de l'éducation mathématique.

Merci, messieurs. Avec le nouveau bac, fini les maths, point d'interrogation. Ce sera le thème aujourd'hui du journal de 13h, à partir de 13h30 avec Bruno Duvig. Je veux citer à nouveau ce texte plus grand que la vie qui s'intitule Récolte et Semaille, publié chez Gallimard dans la collection Tell. Merci, merci beaucoup, messieurs.